凸函数

定义 1. f为区间I上的实函数. 如果对任何x1,x2I,以及任意的λ[0,1]f都满足不等式

f(λx1+(1-λ)x2)λf(x1)+(1-λ)f(x2), (1)

则称fI上的凸函数.

如果上述不等式对任何不相等的x1,x2Iλ[0,1]不等号总成立,我们就说fI上是严格凸函数.

注意 2. 有些文献(如[1, 定义3.5.1])会忽略条件x1=x2λ=0λ=1,因为在此时不等式(1)总成立. 因此我们可以给出凸函数如下等价定义:

f为区间I上的实函数. 如果对任何不相等的x1,x2I,以及任意的λ(0,1)f都满足不等式

f(λx1+(1-λ)x2)λf(x1)+(1-λ)f(x2),

则称fI上的凸函数.

参考文献

[1]

常庚哲 与 史济怀. 数学分析教程.上册, 卷 . 中国科学技术大学出版社, 合肥, 3 版本, 8 2012.