函数的极限

函数的极限

定义 1. 设函数 $f$ 在点 $x_{0}$ 的近旁有定义，但 $x_{0}$ 这一点自身可以是例外，设 $l$ 是一个实数.如果对任意给定的 $ε > 0$ ，存在一个 $δ > 0$ ，使得对一切满足不等式 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 的 $x$ ，均有

| f (x) - l | < ε,

则称当 $x$ 趋于点 $x_{0}$ 时函数 $f$ 有极限 $l$ ，记作

{lim}_{x \to x_{0}} f (x) = l;

或者更简单一些，记作

f (x) \to l (x \to x_{0}) .

这时，也可以说函数 $f$ 在点 $x_{0}$ 有极限 $l$ （参考[1, 2.4.1]）.

注意 2. 在讨论 $f$ 在点 $x_{0}$ 的极限时， $f$ 在 $x_{0}$ 是否有定义并不重要，因为不等式 $0 < | x - x_{0} |$ 已经把 $x = x_{0}$ 的可能性排除在外.

注意 3. 在一般情况下， $δ$ 和 $ε$ 有关系，为了强调这种依赖关系，有时把 $δ$ 写为 $δ (ε)$ ，但这并不意味着 $δ$ 是 $ε$ 的函数.

注意 4. $f$ 在 $x_{0}$ 是否有极限、有极限时极限值等于多少，只取决于 $f$ 在点 $x_{0}$ 的充分小的近旁的状态，而与 $f$ 在远处的值无关.

参考文献